专题02 等式与不等式（8个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题02等式与不等式（8个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．等式与不等式的性质 【知识点的认识】 1．不等式的基本性质 （1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立： ①a＞b⇔a﹣b＞0； ②a＜b⇔a﹣b＜0； ③a＝b⇔a﹣b＝0． （2）不等式的基本性质 ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； ③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c． ④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d； ⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； ⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）； ⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）． 二．不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式． 【不等式定理】 ①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据． ②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a． ③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d． ④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 【例题讲解】 例1：解不等式：sinx≥． 解：∵sinx≥， ∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）， ∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}． 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解． 例2：当ab＞0时，a＞b⇔． 证明：由ab＞0，知＞0． 又∵a＞b，∴a＞b，即； 若，则 ∴a＞b． 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广． 三．基本不等式及其应用 【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域． 【实例解析】 例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是． A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：． 解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件． 对于C选项中sinx≠±2， 不满足“相等”的条件， 再者sinx可以取到负值． 故选：C． A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便． 例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值． 解：当x＝0时，y＝0， 当x≠0时，＝， 用基本不等式 若x＞0时，0＜y≤， 若x＜0时，﹣≤y＜0， 综上得，可以得出﹣≤y≤， ∴的最值是﹣与． 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果． 【基本不等式的应用】 1、求最值 例1：求下列函数的值域． 2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【解题方法点拨】 技巧一：凑项 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值． 技巧二：凑系数 例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值． 解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可． y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8 当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8． 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值． 技巧三：分离 例3：求y＝的值域． 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离． y＝＝＝（x