专题04 数列（10个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

专题04数列（10个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．数列的概念及简单表示法 【知识点的认识】 1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项． 2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号． 3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列； 按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列； 4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的 通项公式． 几个认识： （1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的． （2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式． 5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 二．数列的函数特性 【知识点的认识】 1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝ 2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn＝＝（q≠1） 3、用函数的观点理解等差数列、等比数列 （1）对于等差数列， an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数． 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题． （2）对于等比数列： an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解． 当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列； 当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列． 当q＝1时，是一个常数列． 当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 【典型例题分析】 典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（　　） A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7） 解：an＝n2+kn+2＝， ∵不等式an≥a4恒成立， ∴， 解得﹣9≤k≤﹣7， 故选：B． 典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（　　） A．310 B．212 C．180 D．121 解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d， 其前n项和为Sn＝， ∴＝， ＝1，＝，＝， ∵数列{}也为等差数列， ∴＝+， ∴＝1+， 解得d＝2． ∴Sn+10＝（n+10）2， ＝（2n﹣1）2， ∴＝＝， 由于为单调递减数列， ∴≤＝112＝121， 故选：D． 三．等差数列的性质 【等差数列】 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数） 例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根． （1）求此数列{an}的通项公式； （2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8． 又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d， ∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2． ∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4． （2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136． ∴268是此数列的第136项． 这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差