专题03 空间向量及其应用（11个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

专题03空间向量及其应用（11个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．空间向量及其线性运算 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，＝． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ）＝+ （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 二．共线向量与共面向量 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 【命题方向】 1，考查空间向量共线问题 例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　） A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣ C．x＝，y＝﹣ D．x＝﹣，y＝ 分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值． 解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线， 故有＝＝． ∴x＝，y＝﹣． 故选C． 点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题． 2．考查空间向量共面问题 例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　） A． B． C． D． 分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误． 解答：由共面向量定理， 说明M、A、B、C共面， 可以判断A、B、C都是错误的， 则D正确． 故选D． 点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题． 三．空间向量的数量积运算 【知识点的认识】 1．空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞． 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cos＜，＞ （2）几何意