第13讲 抛物线（9大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）

第13讲 抛物线（9大考点） ( 考点 考向 ) 一 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) ＝ 　x0＋　 ＝ 　－x0＋　 ＝ 　y0＋　 ＝ 　－y0＋　 二 与焦点弦有关的常用结论 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 三 与抛物线有关的经典结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． ( 考点 精讲 ) 考点一：抛物线的定义 1．（2021秋•青铜峡市校级期末）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2＝my的形式，再根据其准线方程为y＝﹣即可求之． 【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝y， 则其准线方程为y＝﹣＝2， 所以a＝﹣． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式． 2．（2021秋•伊州区校级期末）点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 【分析】由题意得，点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 【解答】解：∵点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2， ∴点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等． 根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0）， 由﹣＝﹣4得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．判断点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等是解题的关键． 考点二：抛物线的标准方程 3．（2021秋•鼓楼区校级期末）焦点是F（0，1）的抛物线的标准方程是（　　） A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝﹣4y D．y2＝﹣4x 【分析】焦点是F（0，1）的抛物线满足的标准形式是x2＝2py（p＞0），且，由此能求出结果． 【解答】解：焦点是F（0，1）的抛物线的标准方程是x2＝4y． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用． 4．（2021秋•建平县校级期末）已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点（6，6），则该抛物线的标准方程是 　y2＝6x或x2＝6y　． 【分析】根据已知条件，分抛物线的对称轴为x轴，抛物线的对称轴为y轴两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：当抛物线的对称轴为x轴时， 可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）， ∵抛物线经过点（6，6）， ∴12p＝36，解得p＝3， 故抛物线方程为y2＝6x， 当抛物线的对称轴为y轴时， 可设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）， ∵抛物线经过点（6，6）， ∴12p＝36，解得p＝3， 故抛物线方程为x2＝6y， 故抛物方程为x2＝6y或y2＝6x． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题． 5．（2021秋•海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点P（2，4）在抛物线C上． （1）求抛物线C的方程； （2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值． 【分析】（1）因点P（2，4）在抛物线C上，42＝2p×2，求解即可； （2）直线与抛物线联立求出两根之和与两根之