第12讲 双曲线（5大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）

第12讲 双曲线（5大考点） ( 考点 考向 ) 一 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线； (3)当a＞c时，点P不存在． 二 双曲线的标准方程和几何性质 ( 考点 精讲 ) 考点一：双曲线的定义及其轨迹方程的求法 一、单选题 1.（2021·全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ） A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义讨论的取值范围即可判断. 【详解】两个定点的距离为， 当，即时，点的轨迹为双曲线的一支； 当，即时，点的轨迹为射线； 不存在的情况． 综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线． 故选：D． 2.（2021·湖南长沙·高二期末）若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由题意可得，点可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点重合）、可能和点重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别结合椭圆的定义、双曲线的定义、圆的定义求出点的轨迹方程，即可得到答案． 【详解】设圆的半径为， （1）若点A在圆内不同于点处，如图（1）所示，则有，故点的轨迹是以A､为焦点的椭圆，所以B正确； （2）若点A与重合，则有，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以A正确； （3）若点A在圆上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段的垂直平分线必过点，故与重合，故点的轨迹是一个点； （4）若点A在圆外，如图（4）所示， 则， 所以，故点的轨迹是以A､为焦点的双曲线右支，当的垂直平分线交的延长线于点时，的轨迹是以A､为焦点的双曲线左支，所以C正确； 故选:D. 二、多选题 3．（2021·广东肇庆·高二期末）设，圆（B为圆心），P为圆B上任意一点，线段AP的中点为Q，过点Q作线段AP的垂线与直线BP相交于点R．当点P在圆B上运动时，点Q的轨迹为曲线，点R的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．当点Q在圆B上时，点Q的横坐标为 C．曲线为双曲线的一支 D．与有两个公共点 【答案】ABD 【分析】对于A，连接OQ，则可得，从而可得曲线的方程，对于B，圆B的方程与曲线的方程联立求解即可，对于C，连接AR，则可得，从而可得点R的轨迹为双曲线，对于D，求出曲线的方程，然后判断 【详解】解析：如图1、图2，连接OQ． 因为点Q为线段AP的中点，O为线段AB的中点，所以，所以点Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，即曲线的方程为，故A正确； 当点Q在圆B上时，圆B的方程与曲线的方程联立，可得，故B正确； 连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以，所以，所以点R的轨迹为双曲线，故C错误； 由选项C可知，点R的轨迹是以为焦点，2为实轴的双曲线，所以曲线的方程为，所以与有两个公共点，故D正确． 故选：ABD．      4．（2022·江苏·高二专题练习）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹是双曲线 C．当点满足时，的面积 D．当点满足时，的面积 【答案】BCD 【分析】根据的结果先判断出点的轨迹是双曲线，由此判断AB选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出的值，即可求解出，据此可判断CD选项. 【详解】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得， 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，， 从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对； 选项C，点的轨迹方程为，当时，， 所以，故C对； 选项D，当时，， 所以，故D对， 故选：BCD. 5．（2022·全国·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为9 B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 C．若，则有或13 D．设，的斜率分别为、，则的最小值为 【答案】BD 【分析】求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D. 【详解】双曲线中、，焦距，实轴长 不妨设， 选项A： 则， 又，则 由，可知，即，则的最大值为16.判断错误； 选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有 则， 解之得，则，则 则.判