第3章 圆锥曲线的方程【单元提升卷】-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）

第3章 圆锥曲线的方程【单元提升卷】 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣3，0） D．（﹣2，0） 【分析】由直线与圆相切可得＝1，把直线方程代入抛物线方程并整理，由Δ＞0求得t的范围． 【解答】解：因为直线l：y＝kx+t与圆：x2+（y+1）2＝1相切， 所以＝1， 所以k2＝t2+2t， 把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t＝0， 由Δ＝16k2+16t＝16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3， 实数t的取值范围是为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线和圆、抛物线的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 2．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，则实数a的值等于（　　） A．4 B．±2 C． D．± 【分析】根据抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，求得p＝1，将点A（a，p）代入抛物线方程即可解得实数a的值． 【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于， 所以，所以p＝1， 则A（a，1），抛物线方程为x2＝2y， 将A（a，1）代入得：a2＝2，解得． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：y＝﹣x的倾斜角是渐近线l1：y＝x的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（　　） A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1 C．﹣y2＝1 D．﹣y2＝1 【分析】设出渐近线的倾斜角，利用一自然条件求出渐近线的倾斜角，推出ab关系，结合三角形的面积求解c，推出a，b即可得到双曲线方程． 【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：y＝﹣x的倾斜角是渐近线l1：y＝x的倾斜角的2倍， 设渐近线l1的倾斜角为α，则渐近线l2的倾斜角为2α，则α+2α＝π，所以α＝，所以＝， 第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，∠POF＝， 点O构成底边长为2的等腰三角形， 所以|PF|＝2，∠OFP＝，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b＝， 所以双曲线方程为：x2﹣＝1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 4．若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解离心率即可． 【解答】解：双曲线的渐近线方程， 因为点P（1，2）在双曲线的一条渐近线上， 所以，所以， 它的离心率为． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题． 5．椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（　　） A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【分析】根据椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，从而可求b，即可求出椭圆的方程． 【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26， ∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13， ∴b＝＝12， ∴椭圆的方程为+＝1． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键． 6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（）．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知求出R的范围，再由最大值为最小值的8倍建立关系式，进而可以求解． 【解答】解：∵点P在椭圆上，则，即， ∴＝ ＝＝， ∵∈[0，a2]，∴∈[]， 则∈[]， ∴R∈[]， ∵曲率半径的最大值是最小值的8倍， ∴，整理得a＝2b， 则椭圆的离心率为e＝， 故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的性质以及曲率半径的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 7．已知双曲线C与椭圆＝1有