第3章 圆锥曲线的方程（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）

第3章 圆锥曲线的方程（基础、典型、易错、新文化、压轴） 分类专项训练 【基础】 一、单选题 1．（2020·全国·高二课时练习）十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面对几何学提出了新的需要．当时德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道是（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】根据天体运行轨道的实际情况作答． 【详解】根据题意，德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道是椭圆； 故选：C． 2．（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题设知轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，根据椭圆的性质判断|PM|的最小值. 【详解】若以为原点为x轴建立平面直角坐标系， 由，则，若， 故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为， 所以|PM|的最小值是. 故选：B 3．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值. 【详解】由题意，得，，则， 所以椭圆的离心率，解得m=8. 故选：B. 4．（2021·安徽·高二期中）在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案. 【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系， 因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状， 所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段， 所以当时，，所以最短窗棂的长度为． 故选：B 5．（2022·重庆八中高二阶段练习）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值 【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径， 所以蒙日圆方程为， 因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点， 所以两圆相切， 所以，解得， 故选：B 二、多选题 6．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 【答案】AC 【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可. 【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确； 对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确； 对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 故选：AC 7．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知点P为双曲线上一点，，为双曲线的两个焦点，下列结论正确的是（    ） A．a的取值范围是 B．该双曲线的焦点坐标为， C．当时，该双曲线的渐近线方程为． D．当时，若时，则或13 【答案】AC 【分析】由双曲线方程，可判断选项A,B；由渐近线方程的求法可判断C，由定义可判断D. 【详解】对A，由双曲线方程可知双曲的焦点在轴上，所以，故A正确； 对B，由双曲线方程可知，从而，，故B错误； 对C，时，由渐近线方程可得渐近线方程为，故C正确； 对D，若点为双曲线左焦点. 若点在双曲线左支上，由双曲线定义有，得； 若点在双曲线右支上， ，所以点不可能在双曲线右支上，故不能得到，故D错误 故选：AC. 三、填空题 8．（2021·江苏·高二专题练习）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________. 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性即可知在上，代入求p，写出抛物线方程即可. 【详解】由抛物线的对称性知：在上， ∴，可得，即抛物线的方程为. 故答案为：. 9．（2021·重庆·高二阶段练习）已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为________． 【答案】 【分析】求出a、b