专题02 分式（18个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

专题02分式（18个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 二．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 三．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 四．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 五．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 六．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 七．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 八．最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 九．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 十．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约