第12讲 直角三角形（4大考点）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(沪教版）

第12讲 直角三角形（4大考点） ( 考点 考向 ) 1.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 2.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 3.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 4.两点的距离公式 ①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为. ②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离 . ( 考点 精讲 ) 考点一：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质 一、填空题 1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为__． 【答案】7 【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案． 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， ∵AB＝4，∠B＝60°， ∴∠BAE＝60°， ∴BE＝2， 同理可得CF＝2， 故BC的长＝BE+EF+FC＝4+AD＝7． 故答案为：7 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质． 2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______． 【答案】或者 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图1，取的中点，连接， ，， ， ，是的中点， ， 是等边三角形， ， ； 如图2，是等腰三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键． 二、解答题 3．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中， (1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）； (2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF． 【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可； （2）证明，可得． (1) 解：如图，点即为所求； (2) 解：证明：如图，连接，， 点在的垂直平分线上， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2021·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N． （1）求证：PM＝PN； （2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线． 【答案】（1）见解析   （2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案； （2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论； 【详解】解：(1) ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， , ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）在Rt△PDM和Rt△PDN中， ， ∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL）， ∴DM＝DN， ∴D在MN的垂直平分线上， ∵PM＝PN， ∴P在MN的垂直平分线上， ∴PD是MN的垂直平分线． 【点睛】本题主要考查了