第11讲 线段垂直平分线、角平分线及轨迹（4大考点）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(沪教版）

第11讲 线段垂直平分线、角平分线及轨迹（4大考点） ( 考点 考向 ) 1.逆命题和逆定理 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题； 逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理； 2.线段的垂直平分线 3.角的平分线 4.轨迹 ( 考点 精讲 ) 一．四种命题及其关系（共2小题） 1．（2011秋•徐汇区校级期中）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　如果a2＝b2，那么a＝b　，该命题是 　假　命题（填真或假）． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假命题． 故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 2．（2006秋•静安区期末）命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：　如果a＝b，那么　． 【分析】将原命题的题设和结论交换，得到逆命题． 【解答】解：命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：如果a＝b，那么． 故答案为：如果a＝b，那么． 【点评】本题考查了逆命题的概念．关键是明确交换原命题的题设和结论，得到逆命题． 二．角平分线的性质（共5小题） 3．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 　4　． 【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到S△ABD+S△ACD＝S△ABC，再利用三角形面积公式得到×8×DE+×DE×16＝48，然后求出DE即可． 【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴AB•DE+AC•DF＝48， 即×8×DE+×DE×16＝48， ∴DE＝4， 即点D到AB的距离为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． 4．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　　． 【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，先利用角平分线的性质得到∠POD＝∠POC，PD＝PH，再利用平行线的性质证明∠CPO＝∠POC得到PC＝OC＝2，然后利用含30度的直角三角形三边的关系． 【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴∠POD＝∠POC，PD＝PH， ∵PC∥OA， ∴∠POD＝∠CPO，∠PCH＝∠AOB＝60°， ∴∠CPO＝∠POC， ∴PC＝OC＝2， 在Rt△PCH中，∵∠PCH＝60°， ∴CH＝PC＝1， ∴PH＝CH＝， ∴PD＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 5．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）求证：CD＝CE． 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线定义不难得出∠ABC+∠CAB＝90°，再由三角形内角和等于180°，即可得出∠ACB是直角； （2）过C点作CF∥AM，交AB于F，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系． 【解答】证明：（1）∵AM∥BN， ∴∠MAB+∠ABN＝180°， 又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA， ∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°， ∴△ACB是直角三角形； （2）过C点作CF∥AM，交AB于F． ∵AM∥BN，CF∥AM， ∴CF∥AD∥BE， ∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE， ∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE， ∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC， ∴AF＝CF＝FB， ∴F为AB的中点， 又CF∥AD∥BE， 根据平行线等分线段定理得到C为DE中点， ∴CD＝