专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式 【考点预测】 1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 2、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 【典型例题】 例1．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式. (1)若的解集为，求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得； （2）， 当a=0，不等式为，不等式的解集为； 当时，不等式化为，不等式的解集为 当时，方程的两个根分别为：. 当时，两根相等，故不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或，. 综上： 当时，不等式的解集为 当a=0，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 例2．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0． (1)当a＝2时，解关于x的不等式； (2)当a＞0时，解关于x的不等式． 【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0， ∴不等式的解集为； （2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0， 当a＞0时，， 的根为：， ①当时，，∴不等式解集为， ②当时，，不等式解集为∅， ③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}， 综上，当时，不等式解集为， 当a时，不等式解集为， 当时，不等式解集为{x|x＜1}．． 例3．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围. 【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根， 则解得. （2）因为，所以， 由题可知，则或， 由题意，方程有两个负根，即解得. 综上，实数的取值范围是. 例4．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以a的取值范围是． （3）方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 例5．（2022·全国·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设． 依题意有，即，得． （2）设． 依题意有，解得． （3）设． 方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即 ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为，此时可得 综上所述，得． 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 2．（2022·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意