专题2.7 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.7 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 2．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 3．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 4．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 5．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型1 求两直线的交点坐标】 【方法点拨】 (1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可. (2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可. 【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】两直线方程组成方程组，所得解即为两直线交点坐标. 【解答过程】由，可得，则两直线交点坐标为 故选：A. 【变式1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接解方程求出两直线交点坐标即可. 【解答过程】由解得，则直线与直线的交点坐标为. 故选：A. 【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则ABC垂心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为ABC垂心的坐标. 【解答过程】解：因为，，， 所以，， 所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1， BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x， 联立，得， 所以垂心的坐标为． 故选：D． 【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解. 【解答过程】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得． 方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误. 故选：C． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【方法点拨】 ①经过两直线，的交点的直线方程为 (除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解. ②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解. 【例2】（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线与的交点的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程. 【解答过程】由可得， 故过原点和交点的直线为即， 故选：C. 【变式2-1】（2022·北京高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解. 【解答过程】由解得，则直线的交点， 又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得. 故选：C. 【变式2-2】（2022·江苏·高二课时练习）过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【解题思路】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解． 【解答过程】由解得，故两直线交点为(－1，2)， 故直线方程是：，即． 故选：A． 【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程 【解答过程】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为， 由，得，即和的交点为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为， 故选：D. 【题型3 两点间的距离公式的应用】 【方法点拨】 平面上两点间距离公式的应用主要有