专题2.6 直线的方程（二）-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.6 直线的方程（二）-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线变形为，则且，即可求出定点. 【解答过程】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点， 故选：A. 2．（3分）（2022·江苏·高二阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案. 【解答过程】由题意设所求方程为， 因为直线经过点， 所以，即，所以所求直线为. 故选：A. 3．（3分）（2022·全国·高二专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程. 【解答过程】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即， 故选：B． 4．（3分）（2021·福建·高二阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【解答过程】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程. 【解答过程】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知， 令，所以直线与轴的交点为， 令，所以直线与轴的交点为， 所以， 当且仅当即时取等，所以此时直线为：. 故选：C. 6．（3分）（2022·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可. 【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B. 7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 【解题思路】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【解答过程】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程． 【解答过程】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线 的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率 则的欧拉线的方程为，即 故选：D． 二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分） 9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，下列命题中正确的有（    ） A．当时，与重合 B．若，则 C．过定点 D．一定不与坐标轴平行 【解题思路】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D． 【解答过程】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确； 当时，有且，解得，故B错误； 因为，所以直线过定点，故C正确； 当时，直线与x轴平行，故D错误； 故选：AC． 10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线，其中，下列说法正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．当时，直线与直线垂直 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【解题思路】根据直线方程的相关性质即可逐项求解. 【解答过程】对于A项，若直线与直线平行，则或1，故A错误； 对于B项，当时，直线为，斜率为