专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 2．两条直线的位置关系 3．直线系方程 具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类： 4．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型1 求直线方程】 【方法点拨】 (1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可. (2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可. 【解答过程】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即； ②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； ③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； 综上所述，直线方程为：或或. 故选：B. 【变式1-1】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可. 【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为，即． 故选：B. 【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案. 【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故选：D． 【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【解答过程】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为. 故选：C. 【题型2 直线过定点问题】 【方法点拨】 (1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标. (2)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直 线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标. 【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（       ） A． B． C． D． 【解题思路】直线恒过定点，把参数提取公因式，使k的系数为0即可得到答案. 【解答过程】把直线方程整理为，令，故，所以定点为， 故选：C. 【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）直线所过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】直线化为点斜式，可以看出直线所过的定点坐标. 【解答过程】直线方程可以化为，则此直线恒过定点， 故选：D. 【变式2-2】（2021·全国·高二专题练习）直线在轴上，轴上的截距的倒数之和为常数，则该直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线在轴上，轴上的截距分别为，，可得直线的方程为、，进而可得即可求解. 【解答过程】设直线在轴上，轴上的截距分别为，，且， 所以直线的方程为， 又因为，可得， 所以该直线必过定点． 故选：C． 【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线的说法中正确的是（    ）． A．直线的斜率为 B．直线的斜率为 C．直线过定点 D．直线过定点 【解题思路】讨论和两种情况可得. 【解答过程】直线可化为． 当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点； 当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(， 所以A，B，C不正确，D正确． 故选：D. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【方法点拨】 (1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线 垂直的直线方程可设为. (2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，