数列解答题模型三：求解数列的通项与前n项和-2023届高考数学重点突破讲义

模型三、求解数列的通项与前n项和 (一)数列通项公式的求解模型 模型1 利用公式法求数列的通项 【模型关键突破点】求已知某数列是等差（比）数列或的问题，破解此类题型的关键点为： ①题中明讲某数列是等差或等比数列，选择从“基本量法”（方程思想处理）与“性质法”（整体思想处理）两种途径； ②乔装打扮的等差（比）数列，从从整体思想构造出等差（比）数列的定义，即发现数列中存在an+1-an=d(常数)或（常数），结合等差（比）定义，或呈现类似，则用公式法求数列的通项. 模型2 已知数列的前n项和求数列通项 【模型关键突破点】利用公式求通项，易扣分点： 检验.必须验证是否适合时的表达式，否则，只能用分段函数来表示． 模型3.“累加法”与“累乘法” 【模型关键突破点】遇到形如型的递推关系式，可利用对应的恒等式巧求通项，其实质就是“累加法”；遇到形如型的递推关系式，可利用对应的恒等式巧求通项，其实质就是“累乘法”. 模型4.利用“构造法”求数列的通项 【模型关键突破点】（1）适当等价变形，构造特殊数列：形如（其中为常数，）的递推式，可变形为，其中，可构造新数列是等比数列进行求解；形如的递推式，两边同时取倒数，可转化为型进行求解．形如的递推式，两边同时除以，可转化为型进行求解． (二)数列求和的模型解法 模型1.利用公式法探求数列求和 【模型关键突破点】直接或对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和(差)的数列． 模型2 利用倒序相加法探求数列求和 【模型关键突破点】适用于一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，则求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．破解此类型的关键点如下： ①寻找定值：适用于与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数的数列或相加后可运算. ②相加化简：先把正写与倒写的两个求数列前n项和的式子的对应项分别相加再化简. 模型3 利用裂项法探求数列求和 【模型关键突破点】若数列通项为分式形式，可拆为两项之差的形式，如，等；注意抵消规律:正负项相互抵消时，要注意正确分析最后剩下项的规律与特点，否则极易出错. 模型4 利用错位相减法探求数列求和 【模型关键突破点】适用于“差比数列”（数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的），即可用错位相减法求解． 模型5 分类讨论探求数列求和 模型关键突破点】数列中等比数列的公比不明确、等差数列的通项加绝对值、数列的奇偶项等求和会引起分类讨论.破解此类题的关键如下： ①等比数列的公比不明确, 应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． ②奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式． ③等差数列乘(－1) ,可分项数为奇数和偶数时,用并项法求和. ④等差数列各项加上绝对值后求和，可按绝对值进行分类． （三）典例剖析 例1.已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 例2.（皖江名校联盟2021届高三上学期12月联考数学17改编）设数列的前n项和为，若，且，（且）． （1）求，并求出数列的通项公式； （2）设，求的值． 变式2: 在①数列{an}为递增的等比数列，S3＝7，且3a2是a1＋3和a3＋4的等差中项，②Sn＝2n－1，n∈N*，③4an－3Sn＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由． 已知数列{an}的前n项和为Sn，________，bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在实数k，使得Tn<k恒成立？ 例3.已知数列的前项和，满足. （1）若，求数列的通项公式； （2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式； ． 例4. （云贵川桂四省2021届高三上学期12月联合考试数学理科T18）已知等比数列的公比为q, （1）试问数列一定是等比数列吗？说明你的理由； （2）求数列的通项公式及数列的前n项和。 例5. 已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是. （1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm. 【强化演练】 1. 等差数列的前项和为，已知，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2.数列已知数列，，满足，，，. （1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； （2）若为等差数列，且，证明，. . 3.满足： （1）记，求证：{dn}是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和Sn。 4.（教材改编