专题26.4 反比例函数的图象和性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题26.4 反比例函数的图象和性质（知识讲解） 【学习目标】 1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】 【知识点一】 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 【知识点二】画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； 【知识点三】反比例函数的图象的位置 反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 【知识点四】反比例函数图象的增减性 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【典型例题】 类型一、描点法画反比例函数的图象 1． 在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象. 【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线． 解：列表如下： x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -4 -8 8 4 2 2 4 8 -8 -4 -2 描点、连线，如图所示. 【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． 举一反三： 【变式】画出反比例函数与的图象． 【分析】先列表、描点，再画图象． 解：列表表示几组x与y的对应值（填空）： x … 1 2 3 4 6 12 … … 6 2 … … 12 4 3 1 … 描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数与的图象． 【点拨】此题考查画反比例函数的图象，掌握画函数图象的步骤：列表、描点、连线是解题的关键． 类型二、已知反比例函数图象求解析式 2．把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．     B．      C．     D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论． 解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B； （2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A； （3）的图象在二，四象限，对应着图象C； （4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D． 【点拨】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式． 【答案】反比例函数的解析式为y＝－. 【分析】根据平移及AB的长度求出点B坐标即可得答案. 解：∵将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A， ∴OA=2， ∵AB//y轴，AB=， ∴B点坐标为：（-2，）， 把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3， ∴反比例函数的解析式为y＝－. 【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据平移及AB的长度求出B点坐标是解题关键. 类型三、由双曲线对称性求点的坐标 3． 如