专题26.1 反比例函数（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题26.1 反比例函数（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义； 2. 能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 以上三种表达式可据实际情况，恰当选择表达式会给我们解题带来很多方便。 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【典型例题】 类型一、反比例函数中变量关系 1． 用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可； （2）根据圆锥的体积公式写出解析式即可． 解：（1） （2） 【点拨】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键． 举一反三： 【变式1】计划修建铁路，那么铺轨天数是每日铺轨量的反比例函数吗？ 【答案】，y是x的反比例函数 【分析】铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数即可． 解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， ∴是的反比例函数． 【点拨】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为，关键是得到与之间的函数关系式． 【变式2】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化； （2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化； （3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可； （2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可； （3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可． 解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间； （2）根据1000=Sh得：长方体的高； （3）根据题意，物体对地面的压强． 【点拨】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键． 类型二、反比例函数的识别 2． 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？ ，，，，，，． 【答案】，． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），可以判定函数的类型． 解：y＝4x不是反比例函数， 不是反比例函数， 是反比例函数， y＝6x＋1不是反比例函数， 不是反比例函数， 不是反比例函数， 由xy＝123，可得： ， 所以xy＝123是反比例函数． 综上：y是x的反比例函数的有：，， 【点拨】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝k（k为常数，k≠0）． 举一反三： 【变式1】 如果是的反比例函数，那么也是的反比例函数吗？ 【答案】是，理由见详解． 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可． 解：如果是的反比例函数，那么也是的的反比例函数．理由如下： 若是的反比例函数，则， 可得：， 所以也是的反比例函数． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义：反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件． 【变式2】写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． （1）底边为 3cm 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化； （2）一艘轮船从相距 200km 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系； （3）在检修 1