专题02 实数突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题02 实数突破核心考点 【聚焦考点+题型导航】 考点一 无理数的概念 考点二 实数的分类 考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 考点四 利用平方根、立方根解这个方程 考点五 无理数整数与小数部分的有关计算 考点六 实数比较大小 考点九 新定义下的实数运算 考点十 与实数运算相关的规律题 考点十一 二次根式有意义的条件 考点十二 最简二次根式的判断 考点十三 已知最简二次根式或同类二次根式求参数 考点十四 二次根式的混合运算 考点十五 已知字母的值，化简求值 考点十六 二次根式分母有理化 【知识梳理+解题方法】 一 实数基本概念 1．算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 注意：①非负数的算术平方根表示为，读作“根号”，叫做被开方数． ② 规定：的算术平方根是0. 2．平方根 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根． 注意：①正数的平方根记作 ，读作“正、负根号”． ②一个正数有两个平方根，且互为相反数；的平方根是；负数没有平方根. 3．立方根 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 一个数的立方根用符号表示为． 注意：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；的立方根为． 4．两个重要公式 ①； ②. 5．实数有关概念 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 6．实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 二 实数估算及比较大小 1．估算 ①开平方法：（）； ②开立方法：（）. 2．比较大小 ①平方（立方） ②估算法 注意： 还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等． 三 二次根式 1.二次根式的定义 一般地，式子（）叫做二次根式，“”叫做被开方数． 2.二次根式有意义的条件 （1）有意义：由二次根式的定义可知，当时，有意义． （2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当时，没有意义． 3.二次根式的性质 （1）二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． （2）二次根式的性质：（） （3）二次根式的性质： 4.最简二次根式 一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根号． 这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式． 注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 5.二次根式的乘除 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作被开方数，并将运算结果化为最简二次根式． （，）；（，）． 四 二次根式加减 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.二次根式加减 如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并．二次根式的加减运算，以前学习的实数的运算法则，运算律仍然使用． 【专题过关+能力提升】 考点一 无理数的概念 例题：（2022·辽宁省抚顺市第二十二中学七年级期中）在实数、、、、、0.1010010001中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）在数－3.14， ， ， π， ， 0.1010010001……中无理数的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 2．（2022·内蒙古·满洲里市第三中学七年级期末）实数，，，，，， 中，无理数的个数是（　　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2022·全国·七年级单元测试）在下列实数，3.1415926，，-8，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），中，无理数有_____________ 考点二 实数的分类 例题：（2021·浙江温州·七年级期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩1.23223