专题01 勾股定理（突破核心考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】 -2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题01 勾股定理（突破核心考点） 【聚焦考点+题型导航】 考点一 用勾股定理解三角形 考点二 勾股数 考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题 考点五 用勾股定理求几何体上最短路径问题 考点六 用勾股定理构造图形解决问题 考点七 勾股定理逆定理证明是直角三角形 【知识梳理+解题方法】 1 勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 2．直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 3勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 4 如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）. 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形， 其中为三角形的最大边. 5 勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足时，是斜边，是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 【专题过关+能力提升】 考点一 用勾股定理解三角形 例题：（2022·山西实验中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠B＝90°， （1）若AB＝3，BC＝4，则AC＝________； （2）若AC＝13，AB＝5，则BC＝________． 【变式训练】 1．（2022·广东·东莞市南城阳光实验中学八年级期中）直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 2．（2022·江西赣州·八年级期中）在△ ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长． 3．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE． (1)求证：BC＝DB； (2)若BD＝6cm，求AB的长． 考点二 勾股数 例题：（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）以下数组中，其中是勾股数的是（    ） A． ， ， B．9 ，40 ， 41 C．1 ， ，1 D．2 ，3 ，4 【变式训练】 1．（2022·江西·赣南师范大学附属中学八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15 2．（2022·陕西·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）在下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．4，5，6 D．1，，2 3．（2022·广西柳州·八年级期中）下列四组数中不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．8，15，17 考点三 勾股定理与网格问题 例题：（2022·安徽·巢湖市第七中学八年级期中）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·山东·邹城市第四中学八年级阶段练习）