专题4.6 利用相似三角形测高+4.7 相似三角形的性质-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题4.6 利用相似三角形测高+4.7 相似三角形的性质 【学习目标】 1、通过测量旗杆的高度的活动，复习巩固相似三角形的有关知识； 2、灵活运用相似三角形的知识解决实际问题； 3、明确相似三角形中对应线段与相似比的关系； 4、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 5、熟练运用相似三角形的相关性质解决实际问题； 【知识梳理】 1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 3.相似三角形的性质 1）对应角相等，对应边的比相等； 2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【高频考点精讲】 【高频考点1】镜子模型（在异侧构建两个相似三角形测高） 例1.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【答案】B 【分析】由入射角等于反射角可以证明再证明再利用相似三角形的性质可得答案. 【详解】解：如图，由题意得： 而 所以树高为 故选： 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟悉实际问题中存在的相似三角形是解题的关键. 变式1．（2022·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面反射的性质可得，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：，，， 又，，，，，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答． 变式2．（2022·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB 4m ，BP 6m ， PD 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（ ） A．8m B．9m C．16m D．18m 【答案】A 【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出CD． 【详解】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴，∴，即，解得：． 答：该古城墙CD的高度为8m．故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 【高频考点2】影子模型（在同侧构建两个相似三角形测高） 例2．（2022·陕西·西安九年级月考）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的MN处，求墙上影子MN的长度． 【答案】1.05m 【分析】连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D，先证明四边形PDNM是矩形，DN=PM=2m，MN=DP，再由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN可得，由此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D， ∵QP⊥PM，NM⊥PM，ND⊥QP， ∴四边形PDNM是矩形，∴DN=PM=2m，MN=DP 由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN，则， ∴，∴， 答：墙上影子MN的长度为1.05m． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 变式1．（2021·内蒙古·二模）