专题4.4 探索三角形相似的条件+4.5 相似三角形判定定理的证明-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题4.4 探索三角形相似的条件+4.5 相似三角形判定定理的证明 【学习目标】 1、理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件； 2、掌握相似三角形的三个判定定理； 3、能熟练运用三角形的三个判定定理； 4、会证明相似三角形的判定定理； 5、运用相似三角形的判定定理解决相关问题。 【知识梳理】 1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； 2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 5.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质证明的. 【高频考点精讲】 【高频考点1】选择或添加条件使得三角形相似 例1.（2022·山东张店·八年级期中）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：添加条件是：， 理由是：，，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力． 变式1.（2022·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】A、当时，无法得出，符合题意； B、，，能判定相似，不符合题意； C、，，能判定相似，不符合题意； D、，，能判定相似，不符合题意；故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 变式2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（　　）对．①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°； ②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6； ③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25； ④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°． ∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′． ②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6． ∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′． ③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25． ∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′． ④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【高频考点2】相似三角形的判定（判定定理1） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 例2.（2022·浙江·诸暨市九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于