专题4.9 相似三角形的六大基本模型-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题4.9 相似三角形的六大基本模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 【模型精讲】 【模型1】相似三角形基本模型（A字型） 【解题技巧】基本模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 例1．（2022·江苏·苏州市八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，，∴， 当与相似时，则可分：①当时，有，如图所示： ∴，即，解得：，∴， ∴，∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即，解得：，∴，∴，∴； 综上所述：当与相似时，或；故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 变式1.（2022·江苏·靖江市靖城中学九年级月考）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD=3，则A′A的值为___． 【答案】1 【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知()2=，据此求解可得． 【详解】解：∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB，则()2=，即()2=，解得A′D=2（负值舍去）， 故答案为：1． 【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 变式2．（2022·湖南新化·九年级期末）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点G，H分别在，上，已知，． （1）求证：；（2）求正方形的面积 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）应用定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似可得结论；（2）利用相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式求出正方形的边长，结论可求． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴HG∥EF，∴HG∥BC，∴； （2）如图：记与的交点为M，则为三角形的高， ∵，∴， ∵，，，， ∴，解得，∴ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，一元一次方程的解法．利用相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式是解题的关键． 【模型2】相似三角形基本模型（X字型） 【解题技巧】基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） 例2．（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平行四边形的性质可以得到且，进而得到，再通过，得到，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴且， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴，故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方． 变式1．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝BE，DF＝3CF，连接EF、BD交于点O，则△BEO与△ODF的面积比为____． 【答案】 【分析】由条件证明，得到，再由AE＝BE，DF＝3CF，AB=DC得到，从而得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴，AB=DC∴∠EBO=∠FDO 又∵∠EOB=∠FOD∴∴ 又∵AE＝BE，DF＝3CF∴, 又∵AB=DC∴∴答案为： 【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，平行四边形的性质，根据定理内容解题是关键． 变式2．（2022广东·九年级专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC