综合测试03 椭圆-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

高二学科素养能力竞赛椭圆综合测试题 第I卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 7．在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G．Monge（1745－1818）最新发现．若椭圆C：＋y2＝1，则下列说法中正确的有（    ） A．椭圆C外切矩形面积的最大值为4 B．点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点，当∠PMN最大值时，tan∠PMN＝2＋ C．过椭圆C的蒙日圆上一点P，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP，kOQ存在，则kOPkOQ为定值 D．若椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，且，则 10．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的圆心为H，内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点．则（    ） A．存在，使得成立 B．的最小值为 C．过点I的直线l斜率为，且与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为N，直线ON的斜率为，则 D．椭圆C的离心率 11．如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的轨迹方程是 D．的轨迹方程是 12．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有（    ） A．曲线的焦点坐标为； B．若，则； C．的内切圆的面积的面积的最大值为； D．设，则的最小值为． 第II卷（非选择题） 三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________. 14．已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为____. 15．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________. 16．在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥体积的最大值是___________. 四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 18．已知是椭圆的左､右焦点，是的上顶点.到直线的距离为. (1)求的方程； (2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点与交于点，直线与分别交于两点，求证：. 19．已知中心在坐标原点O的椭圆，左右焦点分别为，，离心率为，M，N分别为椭圆的上下顶点，且满足. (1)求椭圆方程； (2)已知点C满足，点T在椭圆上（T异于椭圆的顶点），直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，若P为线段NT的中点，求直线NT的方程； (3)过椭圆