综合测试04 双曲线-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

高二学科素养能力竞赛双曲线综合测试题 第I卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（    ） A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左右焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，设，，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．公元前 300 年前后， 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著， 书中描述： 把一条线段分割为两部分， 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为， 与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中， 正确的有（    ） A． B． C． D．若， 则恒成立 10．已知椭圆和双曲线有交点，且有公共的焦点，，它们的离心率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（    ） A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1 B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则 C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为 D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则 12．已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为25 B． C． D．若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________. 14．设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______． 15．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的直线与的右支交于，两点.若，，则的离心率为___________. 16．已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个． 四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．点在双曲线上，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 18．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为． (1)求m的值； (2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点． 19．已知点A、F分别为双曲线C：的左顶点和右焦点，且点A、F到直线的距离相等． (1)求双曲线C的离心率； (2)设M为双曲线C上的点，且点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为． ①求双曲线C的方程； ②设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双