综合测试05 抛物线-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

高二学科素养能力竞赛抛物线综合测试题 第I卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A．     B．     C．     D．1 2．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 3．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是(    ) A． B．(O为坐标原点)的面积为 C． D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为 5．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为 A．2 B．1 C． D．4 6．已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为 A． B． C． D． 7．已知，是过抛物线（）焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则抛物线的标准方程为 A． B． C． D． 8．已知圆和焦点为F的抛物线上一点，M是上，当点M在时，取得最小值，当点M在时，取得最大值，则 A． B． C． D． 二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（    ） A． B． C．A，，三点共线 D． 10．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，以为圆心的圆与相切于点，点与抛物线的焦点不重合，且，，则（    ） A．圆的半径是4 B．圆与直线相切 C．抛物线上的点到点的距离的最小值为4 D．抛物线上的点到点，的距离之和的最小值为4 11．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ） A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切 C．的最小值为32 D．当最小时， 12．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则周长的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 14．已知点是抛物线上动点，且点在第一象限，是抛物线的焦点，点的坐标为，当取最小值时，直线的方程为______． 15．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线（）上任意一点，Q是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______. 16．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________． 四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线经过点，其焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设点在抛物线上，试问在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 18．已知抛物线上的点到其焦点的距离为． (1)求和的值； (2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆． 19．已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值. 20．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值． 21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，抛物线上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为． (1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和交抛物线于A，B，C，D，且A，C两点在直线的下方，求证：直线的倾斜角互补并求直线的交点坐标． 22．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于