4.5.1 函数的零点与方程的解 -2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第一册）

4.5.1 函数的零点与方程的解 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1.设函数，满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是(　　) 答案 C 解析 函数的定义域为，函数是增函数， 满足，说明，，，有个是负数一定是两个正数或个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在． 故选：． 2.下列函数既是偶函数又有零点的是(　　) 答案 D 解析 由偶函数定义再定义内满足，是偶函数的是； 且没有零点；由零点，故选：． 3.下列函数中，在内有零点且单调递增的是(　　) ． ． 答案 解析 根据题意，依次分析选项： 对于，x，其定义域为，在上没有定义，不符合题意； 对于，，在上有零点，且在为增函数，符合题意； 对于，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意； 对于，，在上为减函数，不符合题意； 故选：． 4. 已知函数，则函数的零点个数是(　　) 答案 解析 因为函数， 且时； 所以的图象如图， 由图可得：与只有两个交点；即函数的零点个数是； 故选：． 5.方程的解所在的区间为(　　) 答案 解析 令，由于，， ，根据函数零点的判定定理可得的零点所在的区间为， 故方程的解所在的区间为， 故选：． 二、多选题 6.下列说法正确的是( ) A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于， 则实数的取值范围是 D．若函数在区间上有零点，则一定有 答案 解析 对于，令，显然为增函数， 因为， 所以在内有唯一零点， 所以方程在内有唯一解， 因为方程的解在内，所以，故正确； 对于，令，得或， 所以函数的零点是和，故不正确； 对于，令， 依题意可得，即，解得，故正确； 对于，因为在上有两个零点，但是，故不正确； 故选：． 三、填空题 7.已知函数的零点在区间上，则的取值范围为　 　． 答案 解析 因为函数的零点在区间上是单调递增， 函数的零点在区间上，，，， 可得 所以，解得． 8.函数在定义域内零点的个数是　 　． 答案 解析 在同一坐标系中画出函数与的图象， 可以看到个函数的图象在第二象限有个交点，在第一象限有个交点， 所以函数在定义域内有个零点． 9.若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围是　 　． 答案 解析 函数在区间上有一个零点， 若方程的判别式为，可得或， 当时，，有零点，不满足题意； 当时，，有零点，不满足题意； 若可得，可得或， ， 可得，解得， 综上. 四、解答题 10.已知函数，，．证明：函数恒有两个不同的零点． 证明 ， 因为， 又在上的图象是不间断的， 所以函数恒有两个不同的零点． 11.已知函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围． 答案 解析 若，则，与题意不符， 所以， 由题意可知，在上是单调函数，且其在区间上的图象是不间断的， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 12.确定函数的零点所在的区间． 答案 ，． 解析 设，则的零点个数即与的交点个数，作出两函数图象，如图： 由图知，与在区间内有一个交点， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在内两曲线又有一个交点． 故函数的两零点所在的区间为，． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1.已知实数是函数的一个零点，若，则(　　) 答案 解析 函数在上递增，且，由图象可知， 当时，有，故选：． 2.若方程在内恰有一个零点，则有(　　) 答案 解析 方程在内恰有一个零点， ，， ，解得．故选：． 3.方程解的情况是( ) 有且只有一个根 不仅有根还有其他根 有根和另一个负根 有根和另一个正根 答案 解析 方程等价为 设， 则函数在上为减函数， 方程有且只有一个根，故选. 4.设函数的两个零点为，则有(　　) 答案 解析 由，得， 作函数与的图象如图， 不妨设，由图可知，，则，且， ，则，即， ．故选：． 5.已知函数，，的零点依次为，则(　　) 答案 解析 (1)令，即，化为， 分别作出函数，的图象， 由图象可以知道函数的零点， (2)对于函数对于函数，令，则， ； (3)令，则，即， 分别作出函数，的图象， 则， 综上可知：，故选． 二、多选题 6.已知函数，零点分别为，给出以下结论正确的是( ) A． B． C． D． 答案 解析 由函数得，所以的图象关于直线对称， 是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标， 因此已知， 又，即，， 因而均正确； 又，当且仅当即时等号成立， 但， 因而，上式等号不成立， 所以，正确； 记，