4.3 对数-2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1.下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案 解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于，或．故选． 2.下列四个等式： ①；②；③若，则；④若，则． 其中正确的是　　 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 答案 解析 因为，所以，故正确；，故正确； 由可得，故错误；由可得，故错误； 故选：． 3. 若，则的大小关系是(　　) 答案 解析 由，可得，故， 由，可得故， 由，可得，故， ． 故选：． 4.若，，则等于(　　) ． ． ． ． 答案 解析 ==， ，，=，故选：． 5.实数满足，则下列关系正确的是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，， ，，， 故选：． 二、多选题 6. 下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 答案 解析 对于，故选项正确， 对于，故选项正确， 对于，故选项错误， 对于，故选项错误， 故选：． 三、填空题 7.已知，若，则　　． 答案 解析 ，， ，，. 8.若，则　　 (用表示). 答案 解析 由，得， 所以 ． 9.已知，，则　　 ；　　 ． 答案 ， 解析 因为，所以， 又，则． 四、解答题 10.化简． 答案 解析 ． 11.计算． 答案 解析 原式． 12.抽气机每次抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽几次？ 答案 解析 设至少抽次可使容器内空气少于原来的， 则(设原先容器中的空气体积为，即， 两边取常用对数得， 所以． 故至少需要抽次． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1. 设正实数满足，下面成立的是(　　) ． ． ． 答案 解析 正实数满足， 设，，则， ， ． 故选：． 2.若，且，则的值(　　) ．不是常数 答案 解析 ，且， ，， ． 故选：． 3.设，，当取最小值时的值为(　　) 答案 解析 ． ，，当取最小值时的值为． 故选：． 4. 已知正数满足，则下列结论不可能成立的是(　　) ． ． ． ． 答案 解析 设，则，，； 时，；时，；时，． 故选：． 5. 若正实数满足，则的最小值是(　　) 答案 解析 ， ，即． 可得：． ，当且仅当时取等． 令， 则，解得：，即． 故选：． 二、多选题 6. 设，，则( ) A． B． C． D． 答案 解析 因为，，所以， 所以， 所以，所以． 因为， 所以，所以， 故选：BC． 三、填空题 7.正数满足，则的值是 . 答案 解析 依题意，设， 则， 所以． 8.若，且，，，则的值是 . 答案 解析 令． 则． ，， 则． 9.若，则的最小值是 . 答案 解析 ， ，， 即，即， ， 当且仅当，即取等号， 故的最小值是． 四、解答题 10.已知，若，，求． 答案 解析 设，由知， 代入， 即，解得或(舍去)， 所以，即， 因为，所以，则， 解得， 则. 培优第三阶——高考沙场点兵 1.(2020•新课标Ⅰ)设，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 因为，则，则， 则， 故选：． 2. (2021•天津)若，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 ，，， ， 故选：． 3. (2022•浙江)已知，，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 由，，可得， 则， 故选：． 4.(2021•湖北模拟)已知实数满足，，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 实数满足，，， 令，则为单调函数，则， ，且， ， ． 故选：． 5.(2019•洛阳三模)若，且，则( ) A． B． C． D． 答案 解析 ，且， ，， ，，， 因为，，所以， 同理，，所以， 所以， 又因为在上单调递减， 即． 故选：． 6.(2022•广东模拟)(多选) 已知实数满足，则下列结论正确的是( ) A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 答案 解析 由题意对数的运算性质因为，则可得； 则由基本不等式有，即， 当且仅当时，即时等号成立，故项正确，项错误； 因为，， 则两边同除可得，， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值为，故项错误； 因为，， 当且仅当时，即时等号成立，故项正确． 故选：． 7.(2019•普陀区二模