专题09 锐角三角函数（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题09 锐角三角函数 【思维导图】 ◎考点题型1 正弦的概念和求正弦值 锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B) 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 对边 邻边 斜边 A C B 【正弦和余弦注意事项】 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。 3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 例．（2022·安徽合肥·九年级期末）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（       ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵∠C＝90°， ∴sinA＝∠A的对边与斜边的比， ∵△ABC的三边都缩小5倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴sinA的值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 变式1．（2021·上海宝山·九年级期末）在中，，，，那么的值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3， 则sinA=， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键． 变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，则= (     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图， 在Rt△ABC中，， 则 ． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理解三角形、锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 变式3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，根据网格的特点证明是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， sin∠ADC ， 故选D． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理与网格，掌握以上知识是解题的关键． ◎考点题型2 已知正弦值求边长 例．（2021·广东·深圳外国语学校九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】， ∴设BC＝4x，AB＝5x， 又∵AC2+BC2＝AB2， ∴62+(4x)2＝(5x)2， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍）， 则BC＝4x＝8cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键． 变式1．（2022·安徽滁州·九年级期末）在中，，若，，则的长是（       ） A．80 B． C．60 D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100， ∴， ∴在Rt△ABC中，AB==80， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 变式2．（2022·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（     ） A．4+ B．6+ C．4+ D．6+ 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例可得是的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得，根据中位线的性质可得，根据sinA＝，AB＝6，求得,在中，勾股定理求得，进而求得，然后根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，DE⊥AC， ，， ， ， D是AB的中点， ，， ， ， △CDE的周长为． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 变式3．（