专题02 常用逻辑用语 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题02 常用逻辑用语 一、命题 1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 3．命题常写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 4．定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 5.定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 6．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题． 二、充要条件 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 pq，且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA， A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB， 弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论． 2.等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推． 3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 三、全称量词和存在量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． 2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 题型一 命题真假的判定 【典例1】（2021·江苏·高一期中）关于区间，有下列四个命题： 甲：小于1的数都不在区间I内       乙：区间I内不存在两个数互为倒数 丙：区间I内存在小于1的数          丁：区间I内每个数的平方都大于它本身 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例2】同住一个房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题： (1)A既不在修剪指甲，也不在看书； (2)B既不在听音乐，也不在修剪指甲； (3)若C在修剪指甲，则A在听音乐； (4)D既不在看书，也不在修剪指甲； (5)C既不在看书，也不在听音乐． 若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？ 【规律方法】 1.命题真假的判定方法 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断． 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 2．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足． 题型二 充分、必要条件的判定 【典例3】（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件 【典例4】（2020·江苏·南京外国语学校高一期中）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5】（2020·江苏·泰州市第二中学高一期中）命题“”是“”的（     ） A．既不充分又不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【典例6】【多选题】（2021·江苏常州·高一期中）命题“，则”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题． 2. 判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立. 3.充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据