专题04 指数与对数 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题04 指数与对数 （一）根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ （二）有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． （三）对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 提醒：指数式与对数式的关系 （四）对数的性质、换底公式与运算性质 1．对数的性质： ①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)． 2．换底公式： logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． 3．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 4．对数的运算性质： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 题型一 根式的化简与求值 【典例1】（2021·江苏·高一专题练习）化简（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解. 【详解】解：， 故选：D． 【典例2】（2021·江苏·高一专题练习）下列各式中成立的一项（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 【典例3】（2021·江苏·高一专题练习），则实数a的取值范围_________  【答案】 【分析】由二次根式的化简求解 【详解】由题设得， ， 所以 所以，． 故答案为： 【规律方法】 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对与()n的进一步认识 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝. (3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 题型二 指数幂的化简与求值 【典例4】（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的值，再开方即可. 【详解】根据题意得， ， 因为，所以. 故选：D. 【典例5】（2021·江苏·高一专题练习）已知，则不可能满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质及基本不等式即可求解 【详解】，， ， ， ， 则有，，， ，故A. B正确； ，故C正确； ，故D错误， 故选：D. 【典例6】（2020·江苏镇江·高一期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）81；（2）6. 【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出. 【详解】（1）原式； （2）由，而， 则，故. 【特别提醒】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 题型三 对数的概念与性质 【典例7】（2021·天津高考真题）若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】 ，， . 故选：C. 【典例8】对数式中，实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，5)