专题11 等腰三角形中的分类讨论-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题11 等腰三角形中的分类讨论 【知识点睛】 · 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形； · 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论 设等腰三角形中有一个角为α时 对应结论 当α为顶角时 底角= 当α为直角或钝角时 不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时 α可以为顶角；也可以为底角 当等腰三角形的一个外角为α时 对应结论 若α为锐角、直角 α必为顶角的外角 若α为钝角 α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角 · 动态环境下的等腰三角形存在性问题 【类题训练】 1．已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是　 　cm． 【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长． 【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能构成三角形， ∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，即7+6＞7，能构成三角形， ∴腰长是6cm或7cm， 故答案为：6或7． 2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是　 　． （2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是　 　． （3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为　 　． 【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． （2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角． （3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解． 【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°； ②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°． （2）∵等腰三角形的两底角相等 ∴两底角的和为180°﹣100°＝80° ∴两个底角分别为40°，40°． （3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°； ②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20° 故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°． 3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 　 　． 【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可． 【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm， ∵点D为AC的中点， ∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x， 当△ABD的周长大于△BCD的周长时， AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13， 底边长为35﹣13×2＝9（cm）； 当△BCD的周长大于△ABD的周长时， 则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝， 底边长为35﹣×2＝（cm）． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm． 故答案为：9cm或cm． 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　． 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为45°或135°． 5．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据等腰三角形的判定，分三种情况，画出图形解答即可． 【解答】解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，（此时PA＝PB）； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，（此时AB＝AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1（此时BP＝BA）． 故符合条件的点有6个． 故选：C． 6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，