考点09 函数的奇偶性-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第一册)

考点09 函数的奇偶性 1、判断函数奇偶性的方法 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　 2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略 （1）已知函数的奇偶性求函数值 利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式 利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. （4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． （5）利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 考点一 函数奇偶性的判断 1．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）的定义