第一章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 1.命题的四种形式及其关系，形成和发展学生的数学抽象素养． 2．充分、必要条件的判断与应用，提升数学抽象和逻辑推理的素养. 　　本部分的考查涉及的知识点较广，主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合命题、充分条件和必要条件，考查考生的转化思想和逻辑推理能力，题目难度中等，以选择题和填空题为主，有时也以解答题的一问呈现。 [要点梳理] 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以　判断真假　的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做　真命题　，判断为假的语句叫做　假命题　. 2．四种命题及其关系 四种命题间的相互关系 四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 3．充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp A是B的真子集 集合与充要条件的关系 p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p A，B互不包含 1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q等价于¬q⇒¬p； (2)qp等价于¬p¬q. [自主诊断] ◆[思考辨析] 判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　 ) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　 ) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　 ) (4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× ◆[教材改编] 1．(选修2－1P6练习)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　 ) A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1 C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 解析：C　[命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．] 2．(选修2－1P8AT2(1))“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为　________　. 解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”． 答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数 ◆[小题纠偏] 1．设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由<，得0<x<1，所以0<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出0<x<1.所以“<”是“x3<1”的充分而不必要条件．] 2．(2021·浙江卷，3)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若c⊥a且c⊥b，则a·c＝b·c＝0，但a不一定等于b，故充分性不成立；若a＝b，则a·c＝b·c，必要性成立，故为必要不充分条件．故选择：B.] 3．有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． 其中真命题为　________　.(填写所有真命题的序号) 解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0