第二章 核心素养系列1 函数与导数高考压轴大题的突破问题-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.函数与导数高考压轴大题的突破问题 函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式关系探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开．此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视． [热点一]　运用分类讨论——各个击破　 [典例1]　(2021·新高考Ⅱ卷，22)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点 ①＜a≤，b＞2a； ②0＜a＜，b≤2a. ►[规范解答] [解]　(1)f′(x)＝x(ex－2a)，令f′(x)＝0，则a≤0时，x＝0；a＞0时，x＝0或ln(2a)． ①a≤0时，∵ex－2a≥ex＞0恒成立，x＞0时 f′(x)＞0；x＜0时f′(x)＜0. ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ②a∈时，x∈(－∞，ln(2a))∪(0，＋∞)时，x和ex－2a同号，f′(x)＞0恒成立；x∈(ln(2a)，0)时，x＜0， ex＞2a，f′(x)＜0恒成立．∴f(x)在(－∞， ln(2a))和(0，＋∞)上递增，在(ln (2a)，0)上递减． ③a＝时，f′(x)＝x(ex－1)，x≠0时x和ex－1同号，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增； ④a＞时，x∈(－∞，0)∪(ln (2a)，＋∞)时，x和ex－2a同号，f′(x)＞0恒成立，x∈(0，ln(2a))时，x＞0，ex＜2a，f′(x)＜0恒成立．∴f(x)在(－∞，0)和(ln(2a)，＋∞)上递增，在(0，ln(2a))上递减． 综上，①a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；②a∈时，f(x)在(－∞，ln(2a))和(0，＋∞)上递增，在(ln(2a)，0)上递减；③a＝时，f(x)在(－∞，＋∞)上递增；④a＞ 时，f(x)在(－∞，0)和(ln (2a)，＋∞)上递增，在(0，ln(2a))上递减． (2)若选①，由f(x)在(0，ln 2a)上递减，在(－∞，0)或(ln 2a，＋∞)上递增． 由f(x)在(－∞，0)上递增，且f(0)＝b－1＞2a－1＞0，f＝e－＜0， 可得f(x)在(－∞，0)上有唯一零点， 由f(x)在(0，ln 2a)上递减，在(ln 2a，＋∞)上递增， 且f(ln 2a)＝(ln 2a－1)·2a－aln22a＋b＞(ln 2a－1)·2a－aln22a＋2a＝a(2－ln 2a)ln 2a＞0， 所以在(0，ln 2a)及(ln 2a，＋∞)上没有零点， 所以f(x)只有一个零点． 若选②，由(1)知0＜a＜时，f(x)在(ln 2a,0)上递减，在(－∞，ln 2a)上递增， 因为f(ln 2a)＝(ln 2a－1)·2a－aln22a＋b＞ (ln 2a－1)·2a－aln22a＋2a＝a(2－ln2a)ln 2a＜0， 所以f(x)在(－∞，0)没有零点， 设g(x)＝ex－x－1(x＞1)，则g′(x)＝ex－1＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，g(x)＞g(1)＝e－2＞0， 所以x＞1时f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)(x＋1)－x2＋b＝x2－1＋b. 所以x＞1且x2－1＋b＞0时f(x)＞0， 又f(x)在(0，＋∞)上递增， 且f(0)＝b－1＜2a－1＜0， 所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，所以f(x)只有一个零点． 函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值． ◆[跟踪训练] 1．(2021·启东市期中)已知函数f(x)＝ln x＋－(a∈R)． (1)当a＝0时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a的取值范围． 解析：(1)因为a＝0，所以f(x)＝ln x＋， 所以f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝2.列表如下. x (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0