第二章 第13节 第1课时 导数在不等式中的应用-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第13节　导数的综合应用 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解并掌握利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题． 2.理解并掌握利用导数比较大小、证明不等式． 3.理解并掌握利用导数研究函数的零点问题 1.利用导数证明不等式，发展逻辑推理和数学运算素养． 2.利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题，提升逻辑推理和数学运算素养． 3.利用导数研究函数的零点问题，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用 第1课时　导数在不等式中的应用 考点一　构造函数证明不等式(师生共研) [典例1]　(文科)(2019·北京卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋x. (1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程； (2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x； (3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值． [解析]　本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． (1)f′(x)＝x2－2x＋1，令f′(x)＝x2－2x＋1＝1得x＝0或者x＝. 当x＝0时，f(0)＝0，此时切线方程为y＝x，即x－y＝0； 当x＝时，f＝，此时切线方程为y＝x－，即27x－27y－64＝0； 综上可得所求切线方程为x－y＝0和27x－27y－64＝0. (2)设g(x)＝f(x)－x＝x3－x2，g′(x)＝x2－2x，令g′(x)＝x2－2x＝0得x＝0或者x＝，所以当x∈[－2,0]时，g′(x)≥0，g(x)为增函数；当x∈时，g′(x)＜0，g(x)为减函数；当x∈时，g′(x)≥0，g(x)为增函数； 而g(0)＝g(4)＝0，所以g(x)≤0，即f(x)≤x； 同理令h(x)＝f(x)－x＋6＝x3－x2＋6，可求其最小值为h(－2)＝0，所以h(x)≥0，即f(x)≥x－6，综上可得x－6≤f(x)≤x. (3)由(2)知－6≤f(x)－x≤0， 所以M(a)是|a|，|a＋6|中的较大者， 若|a|≥|a＋6|，即a≤－3时，M(a)＝|a|＝－a≥3； 若|a|＜|a＋6|，即a＞－3时，M(a)＝|a＋6|＝a＋6＞3； 所以当M(a)最小时，M(a)＝3，此时a＝－3. 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明h(x)>0.若函数f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；若函数f(x)与g(x)的最值不易求出，可对h(x)＝f(x)－g(x)适当变形后进行转化． [典例1]　(理科)(2021·全国乙，20)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1. [解析]　(1)由题意得f(x)的定义域为(－∞，a)， 令m(x)＝xf(x)，则m(x)＝xln (a－x)，x∈(－∞，a)， 则m′(x)＝ln(a－x)＋x·＝ln(a－x)＋， 因为x＝0是函数xf(x)的极值点， 所以m′(0)＝0 ，即ln a＝0，所以a＝1； 当a＝1时，m′(x)＝ln(1－x)＋＝ln(1－x)＋＋1， 且m′(0)＝0. 因为m″(x)＝＋＝＜0， m′(x)在(－∞，1)上单调递减， 所以当x∈(－∞，0)时，m′(x)＞0，当x∈(0,1)时，m′(x)＜0， 所以a＝1时，x＝0是函数xf(x)的一个极值点； (2)证明：由(1)可知xf(x)＝xln(1－x)， 要证＜1，即需证＜1， 因为当x∈(－∞，0)时，xln(1－x)＜0， 当x∈(0,1)时，xln(1－x)＜0； 所以需证x＋ln(1－x)＞xln(1－x)，即x＋(1－x)ln(1－x)＞0； 令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)，x∈(－∞，1)， 则h′(x)＝1＋(－1)ln(1－x)＋(1－x)·＝－ln(1－x)， 所以h′(0)＝0，当x∈(－∞，0)时，h′(x)＜0；当x∈(0,1)时，h′(x)＞0， 所以x＝0为h(x)的极小值点， 所以h(x)＞h(0)＝0，即x＋ln(1－x)＞xln(1－x)， 所以＜1成立． 即＜1. 所以g(x)＜1 1．证明不等式的基本方法： (1)利用单调性：