第二章 第11节 利用导数研究函数的单调性-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第11节　利用导数研究函数的单调性 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次) 1.利用导数判断或证明函数的单调性，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．利用导数求函数的单调区间，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．已知函数的单调性求参数的取值范围，提升逻辑推理和数学运算素养 利用导数研究函数的单调性是高考考查的热点内容，主要考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数确定函数的单调区间、已知函数的单调性求参数的取值范围等，考查转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法．题型主要以解答题为主，属于中高档题 [要点梳理] 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内　单调递增　； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内　单调递减　； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是　常数函数　. 2．求函数单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导． (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间． (文科) 1．f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2．若f(x)可导且f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． (理科) 1．利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x) >0或f′(x) <0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 2．两个条件 (1)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件． (2)f′(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件． 3．确定单调区间端点值的三个依据 (1)导函数等于零的点． (2)函数不连续的点． (3)函数不可导的点． 4．三点注意 (1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． (3)区间端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　 ) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　 ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．(　　 ) (4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．(　　 ) (文科)(5)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．(　　) (理科)(5)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) 答案： (1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(文科)(5)√　(理科)(5)× ◆[教材改编] 1．(文科)(选修1－1·3.3例题改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数，其他判断均不正确．] 1．(理科)(P32A组T4)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　 ) A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案：C 2．(文科)(选修1－1·3.3例题改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为　________　. 答案：(－∞，0) 2．(理科)(P26练习T1(2))函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是　________　. 解析：由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) ◆[小题纠偏] 1．(文科)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　 ) 解析：A　[由f(x)的图象可知：y＝f(x)在(－∞，0)先单调递