第二章 第9节 函数模型及应用-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第9节　函数模型及应用 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 1.用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养． 2.应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养． 3.构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养 函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力 [要点梳理] 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a＞0) 2.三种函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 3.解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案． 　1.对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． 当x＞0时，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 2．(1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　 ) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　 ) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　 ) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　 ) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　 ) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[教材改编] 1．(P102例3)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　 ) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 解析：D　[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．] 2．(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　________　.(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.