第二章 第6节 二次函数与幂函数-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第6节　二次函数与幂函数 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 3．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 1.幂函数的图象与性质，培养数学抽象和直观想象素养． 2．二次函数的最值问题，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．二次函数零点的分布问题，提升直观想象和逻辑推理素养 　　幂函数、二次函数的图象与性质是高考考查的热点内容，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查数形结合思想，这种思想方法常融合在函数的最值、函数零点的分布问题之中．主要以选择题或填空题的形式出现，属于低中档题，在解答题中常与导数的应用综合，属于中高档题 [要点梳理] 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋ bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 (3)二次函数的零点的分布问题 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)两个零点为x1，x2的分布情况如下表 (只讨论a>0的情况，a<0时可变形为a>0的情况)： 根的分布(m<n<p<s为常数) 图象 满足的条件 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 f(m)<0 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一根在(m，n)之间 或f(m)·f(n)<0或f(x)＝0，(m为f(x)＝0的一根，而另一根，应不在(m，n)之间，同理f(n)＝0时，另一根应不在(m，n)之间) m<x1<n p<x2<s 　一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[教材改编] 1．(P79B组T1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　 ) A.　 B．1　　　C.　　　D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.] 2．(必修1P44A组T9改编)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为　________　. 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) ◆[小题纠偏] 1．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　 ) 解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.] 2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　 ) A.