第二章 第4节 指数与指数函数-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第4节　指数与指数函数 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养． 2．指数函数的图象及应用，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　幂的运算性质、指数函数的图象和性质是高考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 [要点梳理] 1．根式 (1)概念：式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝　a　(a使有意义)；当n为奇数时，＝　a　，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂　没有意义　. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数　y＝ax(a>0且a≠1)　叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是　增函数　 在(－∞，＋∞)上是　减函数　 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与()n都等于a(n∈N*)．(　　) (2)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[教材改编] 1．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝(　　 ) A．1　 B．2　　　C.　　　D．3 解析：C　[依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.] 2．(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　 ) A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m) B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m) D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N) 解析：B　[设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N)．] ◆[小题纠偏] 1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：C　[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5， ∴0.60.6＞0.61.5， 又y＝x0.6为R上的增函数， ∴1.50.6＞0.60.6， ∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5. 即c＞a＞b.] 2．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1,5) B．(1,4)