第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-2023高考文科数学【创新教程】大一轮高考总复习全程解决方案教师用书word（人教版，老高考）

第3节　函数的奇偶性与周期性 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 4．会运用函数的图象理解和研究函数的周期性 1.判断函数的奇偶性，培养数学抽象和逻辑推理素养． 2．函数奇偶性的应用，培养逻辑推理和数学运算素养． 3．函数周期性的应用，培养数学抽象和逻辑推理素养． 4．函数基本性质的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题，函数的周期性也经常会涉及到三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大．本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度不会太大，属于低中档题，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力 [要点梳理] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 关于　原点　对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　存在一个最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的　最小　正周期． 1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数．奇函数＋偶函数＝非奇非偶函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋ f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　 ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　 ) (3)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝ f(x)，则f(2 020)＝0.(　　 ) (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　 ) (5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[教材改编] 1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　 ) A．y＝x2sin x　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：B　[根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．] 2．(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝　________　. 解析：由题意得，f＝f＝－4×2＋2＝1. 答案：1 ◆[小题纠偏] 1．(2022·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　 ) A．y＝x3 B．y＝x C．y＝|x| D．y＝|tan x| 解析：C　[对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意； 对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意； 对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增．] 2．(2021·全国甲卷，12)设f(x)是定义域为R的