专题03 不等式 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题03 不等式 （一）不等式的性质 1.比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． *(3)函数的单调性法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． （二）基本（均值）不等式 1．重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 2．基本不等式 当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 3.常用推论 （1）（） （2）（，）； （3） （三）基本（均值）不等式应用 1．基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 2. 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． （四）二次函数与方程、不等式 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 （五）不等式的解法 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1) ； (2) 3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 题型一 不等式的性质及应用 【典例1】（2021·湖南高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项. 【详解】 A.根据不等式的性质可知，A正确； B.若，，，可知B不正确； C.若，，，故C不正确； D. 若，，，故D不正确. 故选：A 【典例2】（2020·慈溪中学高一月考）下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】 通过举反例可判断A，B，D；利用作差法可判断C，进而可得正确选项. 【详解】 对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，若，，，，则，故选项B错误； 对于C，若，则，即，故选项C正确； 对于D，若，，，则，故选项D错误. 故选：C. 【典例3】（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 【典例4】（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，