专题06 函数有关的情境问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题06 函数有关的情境问题 一、真题剖析 1、【2022年北京】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（       ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【试题情景】本题属于生活实践情景，本题以特殊函数模型为载体，考查数学模型在实际生活中的应用。 【必备知识】本题考查的主要是了解数学建模活动与数学探究活动，要求考生会结合实际社会问题，运用数学思维建立模型解决实际问题 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理性思维、数学文化和数学应用· 【答案】D 【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态， 另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【试题情景】本题属于生活实践情景，本题以特殊函数模型为载体，考查数学模型在实际生活中的应用。 【必备知识】本题考查的主要是了解数学建模活动与数学探究活动，要求考生会结合实际社会问题，运用数学思维建立模型解决实际问题 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理性思维、数学文化和数学应用。本题运用题干提供的I()=0.95K，借助于模型进行计算求解 【答案】C 【解析】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C． 二、题型选讲 题型一 、指对数模型 例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B． 变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的．已知经过x年后，碳14的残余量，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（ ）．（参考数据：） A．公元前2893年 B．公元前2903年 C．公元前2913年 D．公元前2923年 【答案】B 【解析】碳14的半衰期为5730年，，当时，，， 2010年之前的4912年是公元前2902年，以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年. 故选：B. 变式2、（2022·山东烟台·高三期末）在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（ ）（参考数据：） A．63dB B．66dB C．72dB D．76dB 【答案】B 【解析】因为若声强度为时的声强级为60dB， 所以， 即，解得， 所以当声强度变为时， 声强级约为， ， 故选：B 变式3、（2022·广东佛山·高三期末）某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入