专题03 函数的定义域、解析式、值域（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的定义域、解析式、值域 知识点1 求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点2 函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 知识点3 求函数值域的6种常用求法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． （1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． （2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 考点1 具体函数的定义域求法 【例1】（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，函数定义域满足，解得.故选：C 【变式1-1】（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【解析】由题意知：且.故选：C. 【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，解得且， 所以函数的定义域为，故选：B. 【变式1-3】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）的定义域为_________. 【答案】 【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1-4】（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】由题意得，解得或，