专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题02 一元二次函数、方程与不等式 知识1 等式性质与不等式性质 1、作差法比较大小 ；；. 2、不等式的基本性质 （1）（对称性） （2）（传递性） （3）（可加性） （4）（可乘性）； （5）（同向可加性） （6）（正数同向可乘性） （7）（正数乘方法则） 知识点2 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： ； 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”. 知识点3 二次函数与一元二次方程.不等式 1、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 3、含参数的一元二次不等式讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 考点1 不等式的性质与应用 【例1】（2022·全国·高一期中）若，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．，若，则 C．若，则 D．，，若，则 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，当时，，故D错误，故选：C. 【变式1-1】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为实数a，b，c满足，，所以， 对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误， 对于B，若，则，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，故选：C 【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，当时不成立； 对于B，当时，显然不成立； 对于C，当时不成立； 对于D，因为，所以有，即成立.故选：D． 【变式1-3】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）（多选）已知，下列命题为真命题的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A，若，则，故A错误； 对于选项B，若，∵，∴，故B正确； 对于选项C，若，则，故，故C正确； 对于选项D，若，则，故D正确． 故选：BCD． 【变式1-4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】当时，如，时成立，A错； 若则一定有，所以时，一定有，B正确； ，但，C错； ，则，D正确． 故选：BD． 【变式1-5】（2022·全国·高一课时练习）（多选）若a，b，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若a，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，，故，B正确； 对于C，若，，则，即，故C正确； 对于D，当，时，满足，但，故D不正确． 故选：ABC． 考点2 利用不等式求代数式的取值范围 【例2】（2020·陕西·榆林市第十中学高二期中）若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，