专题05 利用基本不等式求最值-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05 利用基本不等式求最值 考点预测： 1.重要不等式 ，有 ， 当且仅当时，等号成立. 2.基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. 4.利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 【典型例题】 例1．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，求的最小值． 【解析】（1）当时，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为； （2）由得：， （当且仅当，即，时取等号）， ，即的最小值为. 例2．（2022·山东·惠民县第二中学高一阶段练习）已知正数满足. (1)求的取值范围； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为是正数，且， 所以由基本不等式得，即，所以， 当且仅当时，取等号； 因为是正数，所以， 所以的取值范围； （2）因为正数满足， 所以， 当且仅当即时，取等号， 所以的最小值为18 例3．（2022·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)． (1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； (2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【解析】（1）由题意有，得 故 ∴ （2）由（1）知： 当且仅当即时，有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. 例4．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知x，y，z都是正数，求证：． 【解析】（1）令 所以，得 所以 因为， 所以， 所以，即 故的取值范围为． （2）证明：由x，y，z都是正数， 则，， 相加可得，，当且仅当时，取得等号． 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：； （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为. 故选：D. 2．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：因为，为非零实数，所以，则， 即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：当、异号时，故B错误； 对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：B 3．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时取等号； 故选：C 4．（2022·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（    ） A．20m B．50m C．m D．100m 【答案】B 【解析】设，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小． 故选：B． 5．（2022·全国·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立 【答案】D 【解析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则， 在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D． 6．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，所以． 因为x，y都是正数，由基本不等式有：， 所以，当且仅当 即时取“＝”．故A，C，D错误. 故选：B