高一上册数学知识梳理汇编（第4-5章）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

高一上册数学期末测试知识梳理汇编（第4-5章） 第4章 指数函数与对数函数 1.指数函数 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R. 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 常用结论： 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 2.对数函数 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 常用结论： 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 3.函数的图像 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 常用结论： 1.记住几个重要结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称. (3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.