第1章 专题特训三 几何图形中的一元二次方程-2022-2023学年九年级上册数学【拔尖特训】苏科版

走过的总路程为三个半圆的长度,即 3×21=63(cm),则12t 2+32t+4t= 63,解得t1=7,t2=-18(不合题意, 舍去). ∴ 甲、乙从开始运动到第二次相遇 时,它们运动了7s. 8. 15或10或30 [解析]设xs后两 只蚂蚁与点O 组成的三角形的面积 为450cm2.有两种情况:① 如图①, 当蚂蚁在AO 上爬行,即0≤x≤25 时,由题意,得1 2×3x (50-2x)= 450,解得x1=15,x2=10.② 如图 ②,当蚂蚁在OB 上爬行,即25<x≤ 50时,由题意,得12×3x (2x-50)= 450,解得x1=30,x2=-5(不合题 意,舍去).综上所述,15s或10s或 30s后两只蚂蚁与点O 组成的三角 形的面积为450cm2. (第8题) 9. (1) 当点P、N 重合时,由题意,得 2x+x2=20,解得x1= 21-1, x2=- 21-1(不合题意,舍去). ∴ 当x= 21-1时,点P、N 重合. (2) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC,即PN∥QM. ∴ 要使以P、Q、M、N 为顶点的四边 形是平行四边形,只要使PN=QM 即可. ∵ 当点 N 到达点A 时,易得x= 25,此时点M 和点Q 还未相遇, ∴ 点Q 只能在点M 的左侧. ① 当点P 在点N 的左侧,即0<x< 21-1时, 由题意,得20-(x+3x)=20- (2x+x2),解得x1=0(不合题意,舍 去),x2=2. ∴ 当x=2时,四边形PQMN 是平行 四边形. ② 当点P 在点N 的右侧,即 21- 1<x<25时, 由题意,得20-(x+3x)=(2x+ x2)-20,解得x1=-10(不合题意, 舍去),x2=4. ∴ 当x=4时,四边形NQMP 是平行 四边形. 综上所述,当x=2或4时,以P、Q、 M、N 为顶点的四 边 形 是 平 行 四 边形. 解决条件探究类问题的一般方法 解决条件探究类问题的一般方 法是反证法,即先假设结论成立,然 后将结论作为已知条件,探求需要 添加的条件,再根据条件找到相等 关系式,进而列一元二次方程并求 解,通过判断求得的一元二次方程 的根是否满足题意来验证假设是否 成立,从而使问题得到解决. 专题特训三　几何图形中的 一元二次方程 1. (1) 当点P 在BC 上,即0≤t≤2 时,AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP= 2tcm,PC=(4-2t)cm. ∵ S△PDQ =S正方形ABCD -S△ADQ - S△BPQ-S△CPD, ∴ 4×4-12×4t- 1 2 (4-t)·2t- 1 2×4 (4-2t)=11,解得t1=-1, t2=3,两根均不合题意,舍去. 当点 P 在CD 上,即2<t≤4时, DP=(8-2t)cm. ∵ S△PDQ= 1 2BC ·DP, ∴ 1 2×4 (8-2t)=11,解得t=54 (不合题意,舍去). 综上所述,不存在t的值,使△PDQ 的面积为11cm2. (2) 存在.易得AQ=tcm,BQ=(4- t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm (0≤t≤2). ① 当PD=QD 时, ∵ DC=DA, ∴ Rt△DPC≌Rt△DQA. ∴ PC=QA,即4-2t=t,解得t= 4 3. ② 当PD=PQ 时,在Rt△PBQ 中, PQ2=PB2+BQ2=(2t)2+(4-t)2. 在Rt△PCD 中,PD2=PC2+CD2= (4-2t)2+42. ∴ (2t)2+(4-t)2=(4-2t)2+42, 解得t1=-42-4(不合题意,舍 去),t2=42-4.综上所述,当t= 4 3 或42-4时,△PDQ 是以PD 为一 腰的等腰三角形. 2. (1) 答案不唯一,如当a=3,b=4, c=5时,“勾系一元二次方程”为 3x2+52x+4=0. (2) 当x=-1时,有a-2c+b=0, 即a+b=2c. ∵ 2a+2b+ 2c=6 2,即2(a+ b)+2c=6 2, ∴ 32c=6 2,解得c=2. ∴ a2+b2=c2=4,a+b=2 2. 又∵ (a+b)2=a2+b2+2ab, ∴ ab=2. ∴ S△ABC= 1 2ab=1. 3. (1) 设ts后,点P、D 之间的距离 是点P、Q 之间的距离的2倍. 由题意,得AP=2tcm,BQ=tcm, PB=(10-2t)cm. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈