第1章 专题特训二 一元二次方程根的判别式的应用-2022-2023学年九年级上册数学【拔尖特训】苏科版

∴ 当k=2 时,菱 形 的 面 积 为 1 2x1x2= 1 2 (2k2+4k+2)=12× (8+8+2)=9. 15. 3 [解析]∵ m、n是一元二次方 程x2+3x-1=0的两个实数根, ∴ m2+3m-1=0,m+n=-3. ∴ 3m-1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 16. (1) ∵ 关 于 x 的 分 式 方 程 k-1 x-1=2 的根为非负数, ∴ x≥0且x≠1. 解这个分式方程,得x=k+12 . ∴ k+1 2 ≥0 且k+1 2 ≠1 ,解得k≥-1 且k≠1. 又∵ (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 为一元二次方程, ∴ 2-k≠0. ∴ k≠2. 综上所述,k≥-1且k≠1,k≠2. (2) 成立.理由:由(1),知k≥-1且 k≠1,k≠2. ∵ k为负整数, ∴ k=-1. ∴ 原一元二次方程可化为3x2+ 3mx+4n=0. ∴ x1+x2=-m,x1x2= 4 3n. ∵ x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1- k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+ 1)=(x1+1)(x2+1), ∴ x21+x22+(x1+x2)=x1x2+ (x1+x2)+1,即x21+x22-x1x2=1. ∴ (x1+x2)2-3x1x2=1. ∴ (-m)2-3×43n=1 ,即 m2- 4n=1. ∴ n=m 2-1 4 ③. 又∵ b2-4ac=(3m)2-4×3×4n= 9m2-48n≥0④, ∴ 把 ③ 代 入 ④,得 9m2 -48× m2-1 4 ≥0. 整理,得m2≤4. 专题特训二　一元二次方程 根的判别式的应用 1. (1) b2-4ac=[-(m-2)]2-4× (2m-8)=m2-4m+4-8m+32= m2-12m+36=(m-6)2. ∵ (m-6)2≥0, ∴ 方程总有两个实数根. (2) 解方程x2-(m-2)x+2m-8= 0,得x1=2,x2=m-4.若方程有一 个根为负数,则m-4<0,故m<4. 2. (1) 把x=-1代入方程,得1+ (k+2)+k-1=0,解得k=-1. ∴ 原方程可化为x2-x-2=0,解得 x=-1或x=2,即方程的另一个根 为x=2. (2) ∵ a=1,b=-(k+2),c=k-1, ∴ b2-4ac=[-(k+2)]2-4×1× (k-1)=k2+8>0. ∴ 不论k取何值,该方程都有两个不 相等的实数根. 3. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-2x+1-k=0有两个不相等的实 数根, ∴ b2-4ac=(-2)2-4×1×(1- k)>0,解得k>0. (2) k的取值不唯一,如取k=1,则原 方程可化为x2-2x=0,即x(x- 2)=0,解得x1=0,x2=2. 4. (1) ∵ b2-4ac=[-(m+2)]2- 4×1×2m=(m-2)2≥0, ∴ 不论m 为何值,方程总有实数根. (2) ∵ 该平行四边形是菱形, ∴ 其邻边相等. 又∵ 该方程的两个根为平行四边形 一组邻边的长, ∴ 该方程有两个相等的实数根. ∴ b2-4ac=(m-2)2=0. ∴ m=2. ∴ 原方程可化为x2-4x+4=0,解 得x1=x2=2. ∴ 菱形的边长为2. 5. (1) △ABC为直角三角形. 理由:∵ 关于x的一元二次方程(a+ c)x2+2bx+(a-c)=0有两个相等 的实数根, ∴ (2b)2-4(a+c)(a-c)=4b2- 4a2+4c2=0. ∴ b2+c2=a2. ∴ △ABC是以a为斜边长(或∠A= 90°)的直角三角形. (2) ∵ a=5,b=1, ∴ c= a2-b2= 5-1=2. ∴ S△ABC= 1 2bc=1. 6. (1) 当k=0时,方程为-2x+2= 0,解得x=1. 当k≠0时,∵ b2-4ac=[-(k+ 2)]2-4k×2=(k-2)2≥0, ∴ 这个方程总有两个实数根. 综上所述,不论k为何值,该方程总有 实数根. (2) 当k=0时,方程的根为x=1,符 合题意. 当k≠0时,∵ kx2-(k+2)x+ 2=0, ∴ x=k+2±|k-2|2k . ∴ x=2k 或x=1. ∵ 方程的根为正整数, ∴ 2 k 为正整数. 又∵ k为整数, ∴ k=1或2. 综上所述,k的整数值为0或1或2