1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2022-2023学年九年级上册数学【拔尖特训】苏科版

∴ x+2=0或x-3=0,解得x1= -2,x2=3. 未正确理解等式的基本 性质导致错误 解一元二次方程ax2=bx(a≠ 0)时,有的同学往往会直接将方程 变形为ax=b,得到方程的解为 x=ba ,究其原因,在方程两边同时 除以的整式x 必须是不等于0的 整式,因而导致出现失根(x=0)的 错误结果. (3) 原方程移项,得2(x-4)2-(x+ 4)(x-4)=0.因式分解,得(x- 4)(x-12)=0, ∴ x-4=0或x-12=0,解得x1= 4,x2=12. 5. (m2+n2-1)(m2+n2+2)=4,设 m2+n2=y,则原方程可化为(y- 1)(y+2)=4,即y2+y-6=0,解得 y1=-3,y2=2. ∵ m2+n2>0, ∴ m2+n2=2. 6. (1) 2;-1. (2) ∵ 3x+4=x, ∴ 3x+4=x2. ∴ x2-3x-4=0. ∴ (x-4)(x+1)=0,解得x1=4, x2=-1.经检验,x=4是原方程的 根,x=-1不是原方程的根,即方程 3x+4=x的解是x=4. 7. 设m=4x-5,n=3x-2,则m- n=(4x-5)-(3x-2)=x-3. ∴ 原方程可化为m2+n2=(m-n)2. ∴ mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0,解 得x1= 5 4 ,x2= 2 3. *1.3　一元二次方程的 根与系数的关系 1. C 2. C 3. (1) -3 (2) 2 4. -3 5. x=5-2 6. (1) ∵ 关于x的方程x2-2(m+ 1)x+m2+2=0总有两个实数根, ∴ b2-4ac=[-2(m +1)]2- 4(m2+2)=8m-4≥0,解得m≥12. (2) ∵ x1、x2 为方程x2-2(m+ 1)x+m2+2=0的两个实数根, ∴ x1+x2=2(m +1),x1x2= m2+2. ∵ (x1+1)(x2+1)=8, ∴ x1x2+(x1+x2)+1=8. ∴ m2+2+2(m+1)+1=8.整理,得 m2+2m-3=0,即(m+3)(m-1)= 0,解得m1=-3,m2=1. 又∵ m≥12 , ∴ m 的值为1. 7. C [解析]设一元二次方程x2- 10x+24=0的两个根分别是x1、x2, ∴ x1·x2=24.∵ 菱形的面积等于 两条对角线长乘积的一半,∴ 菱形的 面积为1 2x1x2=12. 8. B [解析]设此方程的两个根是 α、β.根据题意,得α+β=-p=-2, αβ=q=-20,则以α、β为根的一元二 次方程是x2+2x-20=0. 9. D [解析]∵ 关于x 的一元二次 方程x2-kx+k-3=0的两个实数 根分别为x1、x2,∴ x1+x2=k, x1x2=k-3.∵ x21 +x22 =5, ∴ (x1+x2)2-2x1x2=5.∴ k2- 2(k-3)=5,整理,得k2-2k+1=0, 解得k1=k2=1. 10. 2 [解析]根据题意,知x1+ x2=3.∵ x1=2x2,∴ 3x2=3. ∴ x2=1.将其代入关于x 的方程 x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0, 解得k=2. 11. 9 [解析]∵ a、b是一元二次方 程x2-x-3=0的两个实数根, ∴ a+b=1,ab=-3,b2-b-3=0. ∴ b2=b+3,则原式=3(b+3)+ ab+3a=3b+9+ab+3a=3(a+ b)+ab+9=3×1-3+9=3-3+ 9=9. 12. 4 [解析]由方程有两个实数根, 得(-2k)2-4(k2-k)≥0,即k≥0, 且x1+x2=2k,x1x2=k2-k. ∵ x21+x22=4,∴ (x1+x2)2- 2x1x2=4,即(2k)2-2(k2-k)=4. 整理,得k2+k-2=0,解得k1=1, k2=-2(不合题意,舍去).∴ x21- x1x2+x22=4-(k2-k)=4-k2+ k=4-1+1=4. 13. (1) ∵ b2-4ac=(m-2)2-4× (-2m)=m2-4m+4+8m=m2+ 4m+4=(m+2)2≥0, ∴ 不论 m 为何值,该方程总有实 数根. (2) 依题意,得x1+x2=-(m-2), x1x2=-2m. ∵ x1+x2+x1x2=8, ∴ -(m-2)-2m=8,解得m=-2. 14. (1) ∵ b2-4ac=[-(3k+ 3)]2-4(2k2+4k+2)=9k2+18k+ 9-8k2-