专题3.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（沪科版）

专题3.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】 【沪科版】 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 1 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 3 【题型3 方程的解】 5 【题型4 列方程】 6 【题型5 利用等式的性质变形】 8 【题型6 等式的性质的应用】 9 【题型7 利用等式的性质解方程】 11 【题型8 方程的解中的遮挡问题】 13 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 15 【题型10 方程的解的规律问题】 16 【知识点1 方程及一元一次方程的定义】 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 【例1】（2022•顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（　　） A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100 C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850 【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可． 【详解】解：x（x+25）＝5850是一元二次方程， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 【变式1-1】（2022秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（　　） A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可． 【详解】解：A.5x+4，不是方程，故A不符合题意； B.3x﹣5＜7是一元一次不等式，故B不符合题意， C．x﹣2＝6，是方程，故C符合题意； D.3×2﹣1＝5，不是方程，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022秋•盐城校级期中）下列方程（1）2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． 【详解】解：（1）2、（6）x＝0符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （2）由5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）得到：x+1＝0，符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （3）xy＝5中含有2个未知数，属于二元二次方程； （4）2不是整式方程； （5）x2﹣x＝1的未知数的最高次数是2，属于一元二次方程． 综上所述，属于一元一次方程的个数是3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式1-3】（2009•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分． ①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1． 【分析】根据一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【详解】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0； （2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8③2x+3y＝5； （3）既属于一元方程又属于一次方程的是①3x+5＝9． 【点睛】此题很简单，关键是熟知一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 【例2】（2022•市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2 【分析】根据一元一次方程的定义知m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，据此可以求得代数式|m﹣1|的值． 【详解】解：由已知方程，得 （m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0． ∵方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程， ∴m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0， 解得，m＝1， 则|m﹣1|＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．